Τετάρτη, 30 Σεπτεμβρίου 2009

Επιτάχυνση ή επιβράδυνση;

.Όταν μεταβάλλεται η ταχύτητα ενός κινητού, τότε ορίζεται η επιτάχυνση ως ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας α=dυ/dt. Αυτή είναι διάνυσμα με κατεύθυνση αυτήν της μεταβολής της ταχύτητας. Δείτε τα παρακάτω σχήματα.
Στο σχήμα (1) όπου το σώμα κινείται προς τα δεξιά, αν η ταχύτητα αυξάνεται το διάνυσμα της επιτάχυνσης έχει φορά προς τα δεξιά (ίδια με της ταχύτητας), ενώ αν μειώνεται έχει φορά προς τ’ αριστερά (αντίθετη φορά από την ταχύτητα).

Στο σχήμα (2) που το σώμα κινείται προς τ’ αριστερά, επίσης αν αυξάνεται το μέτρο της ταχύτητας, η επιτάχυνση έχει την ίδια κατεύθυνση, ενώ αν μειώνεται το μέτρο της ταχύτητας, έχει αντίθετη φορά.



Στο (3) σχήμα η επιτάχυνση, προφανώς αφού έχει την κατεύθυνση της μεταβολής της ταχύτητας, έχει άλλη κατεύθυνση, προς το εσωτερικό μέρος της τροχιάς.

…..
Έχει επικρατήσει στην εκπαίδευσή μας την κίνηση που το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται να την ονομάζουμε επιταχυνόμενη, ενώ αν μειώνεται το μέτρο της ταχύτητας να την ονομάζουμε επιβραδυνόμενη. Έτσι στα σχήματα (1) και (2) έχουμε από μια επιταχυνόμενη και μια επιβραδυνόμενη κίνηση και αυτό ανεξάρτητα από το αν η τιμή της επιτάχυνσης υπολογίζεται θετική ή αρνητική.
Ας έρθουμε για παράδειγμα στην άσκηση της ανάρτησης


Πώς θα χαρακτηρίζαμε την κίνηση του κινητού; Με βάση τα προηγούμενα άλλη είναι η κίνηση από 0-6s (επιβραδυνόμενη) και άλλη από 6s-10s (επιταχυνόμενη) όπως φαίνεται και από το παρακάτω σχήμα.

Και ερχόμαστε τώρα στις εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση. Πώς να τις γράψουμε; Το σχολικό βιβλίο προτείνει:
Αν η κίνηση είναι επιταχυνόμενη:

υ= υ0+αt και x= υ0t + ½ αt2
Μήπως εννοεί ότι παίρνουμε σαν δεδομένο ότι το σώμα κινείται επιταχυνόμενο προς την θετική κατεύθυνση; Μάλλον ναι, αλλά τότε τι θα αντικαταστήσει στις εξισώσεις ο μαθητής όταν θα έχει την προς τα αριστερά κίνηση του σχήματος (2);
Αν η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη:

υ= υ0- αt και x= υ0t - ½ αt2
Μήπως εννοούμε ότι έχουμε θετική αρχική ταχύτητα και αρνητική επιτάχυνση και θάταν προτιμότερο να γράφαμε:
υ= υ0- |α|t και x= υ0t - ½ |α|t2;
Ή μήπως προτείνουν οι συγγραφείς να χρησιμοποιούμε μόνο τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης (όπως το κάνουν και για τη μετατόπιση), αλλά αν ναι, τότε τι την θέλουν την ανάλυση της σελίδας 52;
Και ο διδάσκων τι πρέπει από όλα αυτά να επιλέξει, πώς να τα πει για να μην μπερδέψει εντελώς τον μαθητή;
(Κύριε, κύριε γιατί το διάγραμμα της μετατόπισης της ανάρτησης Γραφικές παραστάσεις μετατόπισης και διαστήματος. έχει τα κοίλα κάτω από 6s-10s αφού το κινητό επιταχύνεται;)
.
Νομίζω ότι τέτοια προβλήματα τα έχουμε όλοι αντιμετωπίσει και η πρότασή μου είναι να επιμείνουμε με συνέπεια στα θεμελιώδη:
Στο διάγραμμα:



Το σώμα έχει μια σταθερή επιτάχυνση, άρα εκτελεί μια κίνηση:
Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη.
Γιατί μια κίνηση; Μα τι είναι αυτό που χαρακτηρίζει μια κίνηση;
Η ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ. 
Και εδώ η επιτάχυνση είναι σταθερή. Έτσι οι εξισώσεις μας είναι:
υ= υ0+ αt (1)
Δx = υ0t + ½ αt2 (2)

Και ισχύουν παντού και πάντα, είτε το σώμα κινείται προς τα δεξιά είτε αριστερά, είτε η ταχύτητα αυξάνεται είτε μειώνεται. Αρκεί να μπορούν οι μαθητές μας να κάνουν μια αντικατάσταση χρησιμοποιώντας τις τιμές των μεγεθών με το πρόσημό τους.
.
Παράδειγμα:
Δύο κινητά κινούνται όπως στο παρακάτω σχήμα και σε μα στιγμή, όπου θεωρούμε t0=0 έχουν ταχύτητες μέτρων υ1=4m/s και υ2= 8m/s, ενώ κινούνται με σταθερές επιταχύνσεις μέτρων α1= 2m/s2 και α2= 3m/s2.


Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο κινητών τη χρονική στιγμή t1=4s.
.
Απάντηση:
Για το Α κινητό:
υΑ= υ11 t = 4
m/s+(-2)·4 m/s = -4m/s. Το κινητό τη στιγμή αυτή κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα.
Για το Β κινητό:
υΒ= υ22 
t = -8 m/s + 3·4 m/s = +4m/s. Το Β κινητό κινείται προς τα δεξιά (θετική φορά του άξονα).
.....
Μα και τι θα γίνει με την επιβράδυνση; Ας την αφήσουμε έξω από τη Φυσική. Μπορούμε να την χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή για να περιγράφουμε τι κάνει ένα φορτηγό που φρενάρει. Ας συνεχίζουμε να λέμε ότι επιβραδύνεται και ας το μεταφράσουμε στην Φυσική, δίνοντας κατάλληλο πρόσημο στην τιμή της επιτάχυνσηςτου φορτηγού.
Δείτε το pdf

Τρίτη, 29 Σεπτεμβρίου 2009

Εξίσωση κίνησης στην Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Ένα κινητό κινείται με σταθερή ταχύτητα και την χρονική στιγμή t0=0 περνά από το σημείο Α με x0= -4m ενώ τη στιγμή t1= 4s φτάνει στη θέση Β, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

1) Να βρείτε την τιμή της ταχύτητας του κινητού.
2) Να αποδείξτε ότι η θέση του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από την εξίσωση:
..................................x= -4 + 3t (μονάδες στο S.Ι.)
3) Ποια χρονική στιγμή το σώμα περνά από τη θέση x2= 6,5m;
Απάντηση:

Σάββατο, 26 Σεπτεμβρίου 2009

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Δείτε μια προσπάθεια δημιουργίας «Ερώτησης Πλέγματος Δομημένων Πληροφοριών», όπως την προτείνει η σχολική σύμβουλος Ελένη Δανίλη.  
Τέσσερα κινητά κινούνται ευθύγραμμα με σταθερές ταχύτητες ξεκινώντας ταυτόχρονα από διαφορετικά σημεία Α, Β, Γ και Δ όπως δείχνει η παρακάτω εικόνα. Η τροχιά του κάθε κινητού έχει σημειωθεί με κόκκινο χρώμα. 
Σε μια στιγμή t1 τα κινητά βρίσκονται στις θέσεις που στο σχήμα βρίσκονται οι μικρές σφαίρες.

Έχοντας σαν δεδομένα ότι θεωρούμε την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική και οι αποστάσεις μετρούνται σε μέτρα να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις αφού μελετήσετε με προσοχή την εικόνα. Κάθε ερώτηση μπορεί να έχει περισσότερες από μία απαντήσεις. Χρησιμοποιήστε το κάθε κινητό όσες φορές θέλετε.
   i) Ποιο ή ποια κινητά κινούνται προς τα δεξιά; ………………..
ii) Τη μεγαλύτερη απόσταση έχει διανύσει το κινητό …….
iii) Τη μεγαλύτερη (κατά μέτρο) ταχύτητα έχει το κινητό…….
α) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
iv) Στον παρακάτω πίνακα δίνονται πληροφορίες για:
·     την αρχική θέση
·     τη θέση τη στιγμή t1
·     τη μετατόπιση
·     το πρόσημο της αλγεβρικής τιμής της ταχύτητας του (+ ή -)
Αρχική θέση
Θέση τη στιγμή t1
Μετατόπιση
υ   (+ή -)
-800m
200m
0
Θετική ταχύτητα
-600m
0m
-900m
Αρνητική ταχύτητα
+900m
-400m
+200m


α)  Ποια τετράγωνα είναι αλήθεια για το κινητό Α;
β) Ποια τετράγωνα είναι αλήθεια για το κινητό Γ;

 Απάντηση:
Υ.Γ. Η παραπάνω μορφή είναι τροποποιημένη, μετά από σχετική παρέμβαση της Ελένης Δανίλη. Σε ευχαριστώ Ελένη για την άμεση ανταπόκριση.

Διαγράμματα στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση.1

Στη παρακάτω γραφική παράσταση φαίνεται πώς μεταβάλλεται η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας ενός σώματος το οποίο κινείται σε ευθεία γραμμή που ταυτίζεται με τον άξονα x’Ox και τη χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από τη θέση Χo=+10m.

α. Να περιγράψετε την κίνηση του σώματος.
β. Να υπολογίσετε την χρονική στιγμή που η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται στιγμιαία.
γ. Να βρεθεί η θέση του σώματος την χρονική στιγμή που μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητά του και τη χρονική στιγμή 6s.
δ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις θέσης-χρόνου και διαστήματος-χρόνου.

Απάντηση

Πέμπτη, 24 Σεπτεμβρίου 2009

Κίνηση δύο κινητών σε αντίθετες κατευθύνσεις μέχρι να συναντηθούν

Δύο αυτοκίνητα (ας αγνοήσουμε όμως τις διαστάσεις τους) κινούνται στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο με σταθερές ταχύτητες που έχουν μέτρα υ1 = 20m/s και υ2 = 10m/s αντίστοιχα και αντίθετες κατευθύνσεις. Κάποια χρονική στιγμή βρίσκονται στις θέσεις Α και Β οι οποίες απέχουν απόσταση D = 900m.
Α) Να υπολογίσετε:
1.Τη χρονική διάρκεια της κίνησής τους μέχρι τη χρονική στιγμή της συνάντησής τους.
2.Σε ποια θέση θα συναντηθούν.
3.Πόση είναι η μετατόπιση του κάθε αυτοκινήτου μέχρι τη χρονική στιγμή της συνάντησής τους.
4.Ποιό είναι το διάστημα που έχει διανύσει το κάθε αυτοκίνητο μέχρι τη χρονική στιγμή της συνάντησής τους.
Β) Να κατασκευαστούν:
1.Το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου για το καθένα αυτοκίνητο, σε κοινούς άξονες.
2.Το διάγραμμα θέσης - χρόνου για το καθένα αυτοκίνητο, σε κοινούς άξονες.
3.Το διάγραμμα διαστήματος χρόνου για το καθένα αυτοκίνητο, σε κοινούς άξονες.

Παίρνουμε τον άξονα x πάνω στην ευθεία ΑΒ με αρχή το σημείο Α και θετική φορά προς το σημείο Β.
Σαν αρχή μέτρησης του χρόνου (t0 = 0s) παίρνουμε την χρονική στιγμή που τα αυτοκίνητα είναι στα σημεία Α και Β αντίστοιχα (τα αυτοκίνητα λαμβάνονται σαν υλικά σημεία).
Το πρώτο αυτοκίνητο εκτελεί Ε.Ο.Κ. και περνάει από τη θέση x0(1) = 0m τη στιγμή t0 = 0s και κινείται κατά τη θετική φορά με ταχύτητα μέτρου υ1 = 20m/s. Η εξίσωση κίνησης του είναι:
x1 = 0 + 20t (SI) (1)
Το δεύτερο αυτοκίνητο εκτελεί Ε.Ο.Κ. και περνάει από τη θέση x0(2) = 900m τη στιγμή t0 = 0s και κινείται κατά την αρνητική φορά με ταχύτητα μέτρου υ2 = 10m/s. Η εξίσωση κίνησης του είναι:
x2 = 900 - 10t (SI) (2)

Τη στιγμή που τα αυτοκίνητα συναντιούνται, θα βρίσκονται στην ίδια θέση Σ με συντεταγμένη χΣ . Επομένως θα ισχύει ότι:
x1 = x2 = χΣ (3)
Με αντικατάσταση των (1) και (2) στην (3) έχουμε:
20t = 900 - 10t
30t = 900
t = 30s
Αντικαθιστώντας την τιμή του χρόνου που απαιτείται για να συναντηθούν σε οποιαδήποτε από τις (1) ή (2) βρίσκουμε τη θέση συνάντησης. Αν αντικαταστήσουμε στην (1) έχουμε:
x1 = x2 = xΣ = 20 30 = 600m
Η μετατόπιση του πρώτου αυτοκινήτου υπολογίζεται:
Δχ1 = χΣ – χ0(1) = 600 – 0 = 600m
Η μετατόπιση του δεύτερου αυτοκινήτου υπολογίζεται:
Δχ2 = χΣ – χ0(2) = 600 – 900 = -300m
Τα αντίστοιχα διαστήματα που διανύονται από τα δύο αυτοκίνητα είναι:
S1 =|Δχ1|=600m
S2 =|Δχ2|=300m



Το πρώτο αυτοκίνητο ξεκινά από τη θέση x0(1) = 0m τη χρονική στιγμή t0 = 0s κινείται με ταχύτητα μέτρου υ2 = 20 m/s προς τη θετική φορά και φτάνει στη θέση x1 = 600m τη χρονική στιγμή t = 30s.
Το δεύτερο αυτοκίνητο ξεκινά από τη θέση x0(2) = 900m τη χρονική στιγμή t0 = 0s κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1 = 10 m/s προς την αρνητική φορά και φτάνει στη θέση x2 = 600m τη χρονική στιγμή t = 30s.
Επειδή οι κινήσεις είναι ευθύγραμμες ομαλές οι γραφικές παραστάσεις χ-t είναι ευθείες, ενώ οι γραφικές παραστάσεις υ-t είναι ευθείες παράλληλες στον άξονα του χρόνου.
Οι γραφικές παραστάσεις χ-t τέμνονται τη χρονική στιγμή t = 30s δηλαδή δείχνεται ότι τα δύο αυτοκίνητα βρίσκονται στην ίδια θέση (συναντιούνται).
Το πρώτο αυτοκίνητο διανύει διάστημα S1 = 600m ενώ το δεύτερο αυτοκίνητο διανύει διάστημα S2 = 300m
Η γραφικές παραστάσεις S-t είναι ευθείες που ξεκινούν από το μηδέν.

Δευτέρα, 21 Σεπτεμβρίου 2009

Η μέση (διανυσματική) ταχύτητα.

Ένα υλικό σημείο κινείται κατά μήκος του άξονα x και στο διάγραμμα δίνεται η θέση του σε συνάρτηση με το χρόνο.

i) Να γίνει το διάγραμμα της αλγεβρικής τιμής της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο.
ii) Να βρεθεί η μέση ταχύτητα του κινητού από 0-10s.
iii) Ποια χρονική στιγμή το κινητό περνά από τη θέση x=0;
Απάντηση:

Ευθύγραμμη κίνηση και μέση ταχύτητα.

Ένα σημειακό αντικείμενο κινείται κατά μήκος μιας ευθείας και στο διάγραμμα δίνεται η θέση του σε συνάρτηση με το χρόνο.

i) Βρείτε την ταχύτητα του σώματος στα διάφορα χρονικά διαστήματα.
ii) Υπολογίστε την μέση ταχύτητα του σώματος: 
α) Από 0-4s  και β) από 2s-8s.

Μετατόπιση και διάστημα.

Ένα σημειακό αντικείμενο ξεκινά από την κορυφή Α μιας τετράγωνης πλατείας πλευράς α=20m και αφού περάσει από τις κορυφές Β και Γ φτάνει στην κορυφή Δ.

i)  Πόσο διάστημα διένυσε;
ii) Ποια η μετατόπισή του;
iii) Να σχεδιάστε στο σχήμα το διάνυσμα της μετατόπισης.

Τρίτη, 15 Σεπτεμβρίου 2009

Διαγράμματα στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση.

Ένα κινητό κινείται κατά μήκος του άξονα x και τη χρονική στιγμή t0=0 περνά από τη θέση x0=20m κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα υ0=8m/s, έχοντας σταθερή επιτάχυνση. Τη χρονική στιγμή t1=10s, το κινητό περνά από τη θέση x=0.
Α)  Να βρεθεί η επιτάχυνση του κινητού.
Β)  Να γίνουν τα διαγράμματα σε συνάρτηση με το χρόνο:
i)  Της ταχύτητας του κινητού.
ii) Της μετατόπισης.
iii) Της θέσης του κινητού.

Κυριακή, 13 Σεπτεμβρίου 2009

Διάγραμμα στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Στο διάγραμμα δίνεται η θέση ενός κινητού, που κινείται πάνω στον άξονα x, σε συνάρτηση με το χρόνο.     

1)  Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.
α)  Την χρονική στιγμή t=0 το κινητό βρίσκεται δεξιά της θέσης x=0 και απέχει από την αρχή των αξόνων Ο απόσταση 1m.       
β) Η ταχύτητά του για t=0 είναι 1m/s.        
γ)  Στο χρονικό διάστημα 0-3s το κινητό κινείται προς τα δεξιά.    
δ)  Η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t1=1,5s είναι 4/3m/s.        
ε)  Τη στιγμή t2=5s το σώμα δεν κινείται.     
2)  Ποια η θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t3=11s;
3) Υπολογίστε την μέση ταχύτητα του κινητού από 0-12s;
Σημείωση: Υπενθυμίζεται ότι μιλάμε για την διανυσματική μέση ταχύτητα.


Πέμπτη, 10 Σεπτεμβρίου 2009

Ποια διαγράμματα είναι σωστά;

Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και στο πρώτο σχήμα, φαίνονται τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης, που έχουν σταθερό μέτρο. Σημειώστε ποια από τα διαγράμματα α, β, γ, δ είναι σωστά και ποια λάθος.

Κυριακή, 6 Σεπτεμβρίου 2009

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Ένα σώμα κινείται πάνω στον άξονα x προς τα αριστερά (αρνητική κατεύθυνση), με σταθερή ταχύτητα μέτρου 2 m/s και την χρονική στιγμή t0=0 βρίσκεται σε σημείο Α δεξιά της θέσης x=0, που απέχει 8m από το 0.
i)     Ποια η αρχική θέση του κινητού;
ii)   Πόσο μετατοπίζεται το σώμα μέχρι τη χρονική στιγμή t1=5s;
iii)  Να βρείτε την θέση του σώματος τη στιγμή t1.
iv)  Στο παρακάτω σχήμα να σχεδιάστε τα διανύσματα της τελικής θέσης και της μετατόπισης του σώματος, στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

Πέμπτη, 3 Σεπτεμβρίου 2009

Θέση-Μετατόπιση. Φύλλο εργασίας.

Να τονίσουμε αρχικά ότι η θέση ενός υλικού σημείου ορίζεται πάντα ως προς ένα ορισμένο σύστημα αναφοράς. Για παράδειγμα για να δώσουμε την θέση μιας μπάλας Σ, την καθορίζουμε σε σχέση με κάποιο γνωστό σημείο. Στο παρακάτω σχήμα η θέση της μπάλας ως προς το μάτι Ο, ενός παρατηρητή, καθορίζεται από το διάνυσμα r.
clip_image002
Για να ορίσουμε δε τη θέση του, σχεδιάζουμε ένα διάνυσμα το οποίο έχει αρχή το σημείο αναφοράς (συνήθως την αρχή Ο ενός συστήματος αξόνων xy, για μια θέση πάνω στο επίπεδο xy) και τέλος τη θέση του υλικού σημείου.
clip_image004
Αν τώρα το σώμα μας μετακινείται και πηγαίνει από μια θέση Α σε άλλη Β, ορίζουμε την μεταβολή της θέσης του ή αλλιώς μετατόπισή του, η οποία είναι επίσης διάνυσμα με αρχή την αρχική θέση Α και τέλος την τελική θέση Β.


1) Με βάση τα παραπάνω, ένα κινητό μετακινείται πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο και στο σχήμα φαίνονται οι διαδοχικές θέσεις από τις οποίες διέρχεται (η τροχιά του) πηγαίνοντας από την θέση Α στη θέση Β.
clip_image006
i) Να σχεδιάστε τα διανύσματα της αρχικής θέσης, της τελικής θέσης του και της μετατόπισής του.
ii) Να σχεδιάστε τα αντίστοιχα διαγράμματα ως προς το σύστημα αναφοράς x΄Ο΄y΄.
clip_image008
Απάντηση:


2) Έστω τώρα ότι ένα υλικό σημείο μετακινείται από τη θέση Α στη θέση Β, όπου η μετακίνηση γίνεται πάνω σε ευθεία γραμμή. Προσανατολίζουμε την ευθεία και ορίζουμε το σημείο Ο, σαν αρχή του άξονα x.
clip_image010
Να σχεδιάστε τα διανύσματα της αρχικής θέσης, της τελικής θέσης του και της μετατόπισης του σώματος.


3) Σχεδιάστε επίσης τα ίδια διανύσματα στην παρακάτω περίπτωση:
clip_image012


4) Ας το ξανακάνουμε στο παρακάτω σχήμα.
clip_image014


5) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας με τις αλγεβρικές τιμές για τις θέσεις του σώματος, την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης και το διάστημα που διανύει το σώμα στα σχήματα 1,2 και 3.
Υπενθυμίζεται ότι, από τη στιγμή που ένα διανυσματικό μέγεθος είναι πάνω στον γνωστό άξονα x, γνωρίζουμε την διεύθυνσή του, συνεπώς μας αρκεί ένας αριθμός (θετικός ή αρνητικός) για να μας δείξει το μέτρο του και την κατεύθυνσή του. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται αλγεβρική τιμή του μεγέθους.
Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα:
clip_image016
Το διάνυσμα α έχει μήκος 7m, συνεπώς το μέτρο του είναι 7m και επειδή έχει φορά προς τ’ αριστερά η αλγεβρική του τιμή είναι α=-7m.


clip_image018
Απάντηση:


Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο σε pdf.