Σάββατο, 31 Οκτωβρίου 2009

Διάγραμμα x-t στον μύθο του λαγού και της χελώνας.

Μια χελώνα και ένας λαγός διεξάγουν αγώνα δρόμου 300m.
Η χελώνα τρέχει με σταθερή ταχύτητα 2m/min σε όλο το δρόμο. Ο λαγός τρέχει με ταχύτητα 1m/s για 60s, μετά κοιμάται για 3h και όταν ξυπνάει συνεχίζει με ταχύτητα 1m/s.
1)Πότε έφθασε στο τέρμα η χελώνα και πότε ο λαγός;
2) Πόση η μέση ταχύτητα του λαγού και πόση της χελώνας;
3) Να γίνουν τα διαγράμματα θέσης – χρόνου σε κοινούς άξονες για τα δύο «διαγωνιζόμενα» ζωντανά.

ΛΥΣΗ
1) Η χελώνα φθάνει στο τέρμα μετά χρόνο tx=S/ux = 300m/2m/min = 150min.
Ο λαγός στα πρώτα 60 διανύει απόσταση S1=Uλ t1 = 1m/s 60s = 60m
του έμεινε διάστημα S2=S-S1=240m, που το διανύει σε χρόνο
t2= S2/Uλ = 240m/1m/s = 240 s = 4 min
Φθάνει στο τέρμα μετά χρόνο t =t1 + t ύπνου + t2 = 185 min.

2) Η μέση ταχύτητα της χελώνας, που συμπίπτει με την στιγμιαία ταχύτητά της είναι u χελ = S/tχελ = 300/150 = 2 m/min

Η μέση ταχύτητα του λαγού είναι u λαγού = S/tλαγ = 300/185 = 1,62 m/min

Η μέση ταχύτητα της χελώνας είναι μεγαλύτερη από τη μέση ταχύτητα του λαγού.


Σημείωση: Το διάγραμμα του λαγού παρουσιάζει στις χρονικές στιγμές
t =1 min και t =181 min, δύο γωνίες.
Στις δυο αυτές χρονικές στιγμές η στιγμιαία ταχύτητα του λαγού δεν ορίζεται λόγω ασυνέχειας.
Εν τούτοις λίγο πριν το 1 min η ταχύτητα είναι 1m/s, ενώ λίγο μετά το 1 min
η ταχύτητα του είναι μηδέν.

Εκφώνηση - λύση και από ΕΔΩ.

Πέμπτη, 29 Οκτωβρίου 2009

Πληροφορίες από το διάγραμμα της επιτάχυνσης.

Ένα κινητό ξεκινά από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα, ενώ στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο.       

i)   Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται στιγμιαία; 
ii)  Να βρεθεί η ταχύτητά και η μετατόπιση του σώματος για t=6s.
ii)  Να γίνουν τα διαγράμματα της ταχύτητας και της μετατόπισης σε συνάρτηση με το χρόνο. 

Ένα σώμα κάνει δύο διαδοχικές κινήσεις.

Ένα σώμα ξεκινά από την ηρεμία για t=0 και κινείται με σταθερή επιτάχυνση μέχρι τη χρονική στιγμή t1, οπότε αποκτά υ1=12m/s. Κατόπιν κινείται με σταθερή ταχύτητα, οπότε τη χρονική στιγμή t=9s απέχει 84m από την αρχική του θέση (x0=0) . Ζητούνται:
i)   Η χρονική στιγμή t1.
ii)  Η επιτάχυνση του σώματος στο διάστημα 0-t1.
iii) Να γίνει το διάγραμμα της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

Τετάρτη, 28 Οκτωβρίου 2009

Διάγραμμα x-t και ταχύτητα κινητού.

Στο διάγραμμα φαίνεται η μεταβολή της θέσης ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα, σε συνάρτηση με το χρόνο.


Να υπολογίσετε:
i)  Το πρόσημο της στιγμιαίας ταχύτητας του κινητού τις χρονικές στιγμές 2s και 6s.
ii)  Τη στιγμιαία ταχύτητα τις χρονικές στιγμές t1=4s και t2=8s.
iii) Τη μέση ταχύτητα στα χρονικά διαστήματα:  
          α) Από 0 έως 4s      
          β) Από 2s έως 6s     
          γ) Από 4s έως 8s.

Παρασκευή, 23 Οκτωβρίου 2009

Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση.

Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος του άξονα x και στο παρακάτω διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο, περνώντας για t=0, από την αρχή (x=0) του άξονα.

i) Να περιγράψετε την κίνηση του σώματος.
ii) Ποια η θέση του σώματος:
  α) τη χρονική στιγμή t1=2s
  β) τη στιγμή t2=6s.
iii)  Να γίνει το διάγραμμα της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.
iv) Να βρείτε την κλίση της προηγούμενης γραφικής παράστασης τη χρονική στιγμή t3=5s.

Τετάρτη, 21 Οκτωβρίου 2009

Διάγραμμα θέσης ενός κινητού.

Ένα κινητό κινείται κατά μήκος του άξονα x ξεκινώντας για t0=0 από την θέση x=0. Στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο.

Να κάνετε το διάγραμμα της θέσης του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο.

Διαγράμματα θέσης μετατόπισης.

Με αφορμή ερωτήματα που ετέθησαν από συναδέλφους πάνω στη μορφή ενός διαγράμματος μετατόπισης σε συνάρτηση με το χρόνο, ας δούμε το θέμα αυτό αναλυτικά.
Ένα σώμα ξεκινά από την θέση x0=10m και κινείται κατά μήκος του άξονα x, ενώ στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο.

   i)        Να γίνει το διάγραμμα της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.
   ii)       Ποιο το αντίστοιχο διάγραμμα της μετατόπισης σε συνάρτηση με το χρόνο;
   iii)      Να δικαιολογηθεί η μορφή των διαγραμμάτων.

Απάντηση:

i)      Στο χρονικό διάστημα από 0-5s η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή και έχουμε:
Δx=υ∙Δt
x-x0=υ∙t
x=x0+υ∙t
και για t=5s παίρνουμε:
x=10m+2m/s∙5s=20m
Στο χρονικό διάστημα 5s-10s το σώμα δεν κινείται, συνεπώς μένει στην ίδια θέση x=20m, ενώ για το χρονικό διάστημα 10s-15s έχουμε:
Δx=υ∙Δt
x-x01=υ∙(t-t1)
x=x01+υ∙(t-t1)
όπου t1=10s
Έτσι για t=15s έχουμε:
x=20m+2m/s∙(15s-10s) =30m
Έτσι το διάγραμμα της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο είναι:

ii)    Η μετατόπιση του σώματος κάθε στιγμή είναι η μεταβολή της θέσης του Δx=x-x0, όπου x0=10m η αρχική θέση του σώματος.
Έτσι η γραφική παράσταση της μετατόπισης σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

Μα θα ρωτήσει κάποιος, αφού στο χρονικό διάστημα 5s-10s το σώμα δεν κινείται, πώς μετατοπίζεται; Θα έπρεπε το Δx να ήταν μηδέν. Όχι, το σώμα δεν μετατοπίζεται στο παραπάνω χρονικό διάστημα, αλλά η μετατόπισή του είναι ίση με 10m και τη στιγμή t=5s και για t=6s και …για t=10s, αφού Δx=x-x0  ή
Δx =x-10m
Και αφού σε όλο το χρονικό διάστημα 5s-10s η θέση είναι x=20m έχουμε:
Δx=20m-10m=10m
Για όλο το παραπάνω χρονικό διάστημα.

ΥΓ.
Αν κάποιος ρωτούσε:
Ποια η μετατόπιση του σώματος από t1=5s έως t2=8s;
Η απάντηση θα ήταν ότι είναι μηδενική αφού το σώμα δεν κινείται ή διαφορετικά:
Δx12=x2-x1=20m-20m=0 !!!
Αλλά δεν δείχνει αυτό η γραφική παράσταση Δx-t.

Δευτέρα, 19 Οκτωβρίου 2009

Κίνηση δύο κινητών.

Δύο κινητά ξεκινούν από το ίδιο σημείο ενός ευθύγραμμου δρόμου και στο διάγραμμα δίνονται οι ταχύτητές τους σε συνάρτηση με το χρόνο.

α)  Αναφερόμενοι στο Α κινητό:
i)   Να βρεθεί η τιμή της επιτάχυνσής του, στα χρονικά διαστήματα 0-4s και 4s-6s.
ii)  Ποια η τιμή της ταχύτητάς του τις χρονικές στιγμές t1=3,4s και t2=5,2s;
iii) Ποια χρονική στιγμή έχει ταχύτητα υ3=8,3m/s;
β) Τη χρονική στιγμή t3=6s, ποιο κινητό έχει μεγαλύτερη:
...............α) ταχύτητα, β) επιτάχυνση, γ) μετατόπιση;
.

Παρασκευή, 16 Οκτωβρίου 2009

Προς τα πού κινείται ένα σώμα; Και η επιτάχυνσή του;

Το παρακάτω διάγραμμα αφορά ένα σώμα που κινείται ευθύγραμμα σε προσανατολισμένο άξονα x΄x.

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές ή λαθεμένες.
          α) Από 0-1s το σώμα κινείται προς τα αρνητικά του άξονα και η επιτάχυνσή του είναι θετική.
          β) Από 1s-2s το σώμα κινείται προς τα θετικά του άξονα και η επιτάχυνσή του είναι αρνητική.
          γ) Από 2s-3s το σώμα κινείται προς τα αρνητικά και η επιτάχυνσή του είναι αρνητική.
          δ) Από 3s-4s το σώμα επιταχύνεται.
       Απάντηση:

Τεστ. Επιτάχυνση και άλλα στοιχεία από ένα διάγραμμα ταχύτητας.

Μια σφαίρα κινείται ευθύγραμμα και στο παρακάτω σχήμα βλέπετε την θέση της Α για t=0.


Αν η ταχύτητα της σφαίρας μεταβάλλεται όπως στο διπλανό διάγραμμα:
1)  Χαρακτηρίστε την κίνηση της σφαίρας:
i)   Από 0-2s
ii)  Από 2s-4s.
2)  Η αρχική θέση της σφαίρας είναι ………. Ενώ η αρχική της ταχύτητα ………
3)  Βρείτε την θέση της σφαίρας  την χρονική στιγμή t1=2s.
4)  Υπολογίστε τη μεταβολή της ταχύτητας από 2s-4s.
5)  Υπολογίστε την επιτάχυνση της σφαίρας από 2s-4s.
6)  Σε μια στιγμή(μεταξύ 2s και 4s)  η σφαίρα φτάνει στο σημείο Β του σχήματος. Για τη θέση αυτή να σχεδιάστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση της σφαίρας, πάνω στο σχήμα. Σχεδιάστε επίσης και το διάνυσμα της μετατόπισης της σφαίρας μέχρι τη θέση αυτή.
7)  Βρείτε την ταχύτητα της σφαίρας τη χρονική στιγμή t2=3,5s.
Μονάδες  4+2+3+2+3+3+3=20

Πέμπτη, 15 Οκτωβρίου 2009

Γραφικές παραστάσεις στην ΕΟΜΚ.

Ένα κινητό κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο και η ταχύτητά του μεταβάλλεται όπως στο παρακάτω διάγραμμα.

i)  Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κινητού.
ii)  Ποια η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t1=10s;
iii)  Να γίνει η γραφική παράσταση της μετατόπισης του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο.

Μέση διανυσματική και αριθμητική ταχύτητα

Εφαρμογή 2

Ένα κινητό κινείται για ορισμένο χρονικό διάστημα χωρίς να αλλάζει η κατεύθυνση της κίνησης. Να εξετάσετε αν η αλγεβρική τιμή της μέσης διανυσματικής ταχύτητας είναι ίδια στις εξής περιπτώσεις:

Α) Στο πρώτο μισό του χρονικού αυτού διαστήματος κινείται με ταχύτητα μέτρου και στο δεύτερο μισό με ταχύτητα μέτρου

Β) Διανύει το μισό μιας ευθύγραμμης διαδρομής του με ταχύτητα μέτρου και το δεύτερο μισό με ταχύτητα μέτρου

Απάντηση

Τετάρτη, 14 Οκτωβρίου 2009

Test στην Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Δίπλα σε ένα χάρακα που είναι βαθμολογημένος σε cm, κινούνται με αντίθετη κατεύθυνση δύο μικρές σφαίρες με σταθερές ταχύτητες. Κάποια στιγμή, ας την πούμε t0=0, φωτογραφίσαμε τις σφαίρες και πήραμε την παρακάτω εικόνα.

Ξαναπήραμε φωτογραφία μετά από 2s και η αντίστοιχη φωτογραφία είναι η εξής

Στις παραπάνω εικόνες φαίνεται η θέση x=0, ενώ η προς τα δεξιά κατεύθυνση θεωρείται θετική.
i)  Ποια η αρχική θέση της μαύρης σφαίρας και ποια η θέση της τη στιγμή t=2s;
ii)  Σχεδιάστε στο α΄ σχήμα την μετατόπιση της μαύρης σφαίρας και υπολογίστε την αλγεβρική της τιμή για το παραπάνω χρονικό διάστημα.
iii) Σχεδιάστε στο β΄ σχήμα την αντίστοιχη μετατόπιση της άσπρης σφαίρας και υπολογίστε την αλγεβρική της τιμή.
iv)  Υπολογίστε την ταχύτητα κάθε σφαίρας.
v)  Γράψτε την εξίσωση κίνησης για κάθε σφαίρα.
vi)  Ποια χρονική στιγμή οι δύο σφαίρες θα συγκρουστούν;
vii)    Να γίνει η γραφική παράσταση της θέσης κάθε σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή της σύγκρουσης, στους ίδιους άξονες.
Μονάδες 2+3+2+2+4+4+3=20

Κυριακή, 11 Οκτωβρίου 2009

Εξίσωση κίνησης και συνάντηση κινητών.

Δύο κινητά Κ1 και Κ2 τη χρονική στιγμή t0=0 περνούν από τα σημεία Α και Β που βρίσκονται στις θέσεις x1=0 και x2=20m και κινούνται με σταθερές ταχύτητες υ1= 10m/s και υ2=6m/s, όπως στο σχήμα.

i)   Να βρείτε την εξίσωση της κίνησης κάθε κινητού.
ii)  Ποια χρονική στιγμή το πρώτο κινητό θα φτάσει το δεύτερο;
iii) Σε ποια θέση θα συμβεί αυτό;
iv) Να γίνει το διάγραμμα (x-t) της θέσης κάθε κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο, στο ίδιο διάγραμμα.

Γραφική παράσταση επιτάχυνσης και πληροφορίες από το διάγραμμα.

Ένα υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα και για t=0 έχει ταχύτητα αλγεβρικής τιμής υ0=2m/s, ενώ η επιτάχυνσή του σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

i)   Υπολογίστε το εμβαδόν του γκριζαρισμένου ορθογωνίου. Τι εκφράζει το εμβαδόν αυτό;
ii)  Ποια η τιμή της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t1=10s;
iii) Αν η επιτάχυνση του κινητού δεν ήταν σταθερή αλλά μεταβαλλόταν όπως στο παρακάτω διάγραμμα, ποια ταχύτητα θα είχε το κινητό τη στιγμή t1=10s;

iv) Μπορείτε να υπολογίσετε την ταχύτητα του κινητού αν το διάγραμμα ήταν αυτό του παρακάτω σχήματος;

Τρίτη, 6 Οκτωβρίου 2009

Διάγραμμα θέσης και μια ερώτηση στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Ένα κινητό κινείται ευθύγραμμα, κατά μήκος του άξονα x και στο διάγραμμα δίνεται η θέση του σε συνάρτηση με το χρόνο.


Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες.
1)  Η κίνηση του σώματος είναι επιβραδυνόμενη.
2)  Η ταχύτητα του σώματος παραμένει σταθερή.
3)  Το σώμα κινείται προς τ’ αριστερά (αρνητική κατεύθυνση).
4)  Η ταχύτητα του σώματος έχει τιμή υ= - 5m/s.
5)  Τη στιγμή t1=4s όπου x=0 και η ταχύτητα του σώματος είναι μηδενική.
6)  Τη στιγμή t2=6s το σώμα βρίσκεται στη θέση x2= - 10m.